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La derivada se resuelve primero tomando logaritmos neperianos a ambos lados y luego derivando:
Integración:
Esta integral es más complicada de lo que parece, si has sabido resolverla tienes un nivel más alto de lo normal, aunque en diciembre a todos los alumnos le deberá parecer sencilla. Los pasos son:
Hacer un cambio de variable x=sen t para eliminar la raíz y convertirla en una integral trigonométrica.
Resolver esta segunda integral, que lo normal es que aprendas a finales de noviembre.
Deshacer el cambio de variable.
La solución es:
Trigonometría hiperbólica:
Suponemos que hasta ahora sólo has oído hablar de la trigonometría circular, pero te debe ir sonando porque es muy útil. El seno, el coseno y la tangente hiperbólica están relacionados con las funciones exponenciales. En esta integral el numerador y el denominador son iguales, por lo que se anulan. La solución es:
Límites:
Hay varias formas de resolver este límite, por ejemplo L'Hopital. La solución es:
Resistencia con el aire:
Un cuerpo que se mueve en el aire, al menos está sometido a tres fuerzas: el peso, la resistencia al movimiento en el seno de un fluido debido a la viscosidad, y el empuje. Si alguna fuerza no llega al menos a la centésima parte de otra se suele despreciar, como es el empuje en este caso. Si tenemos en cuenta la resistencia con el aire, ésta siempre va en sentido contrario a la velocidad. Por lo tanto:
En el movimiento de subida la piedra está sometida a dos fuerzas y ambas van hacia abajo, por lo que la aceleración será mayor que la gravedad.
En el movimiento de bajada el peso va hacia abajo pero la resistencia va hacia arriba, por lo que la aceleración será menor que la gravedad.
Como recorren la misma distancia y uno termina con velocidad nula y otro empieza con velocidad nula, se puede concluir, sin hacer cálculos, que el movimiento de bajada es más lento, por lo que tarda más en bajar.
Velocidad Media:
La velocidad media no es la media de las velocidades, es el espacio total recorrido entre el tiempo total empleado. Tarda más tiempo en ir que en volver. Si llamamos x a la distancia entre Madrid y Barcelona:
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